সরলরেখা (স্থানাক ও দূরত্ব)

দুই বিন্দুর দূরত্ব সম্পর্কিত:

·         অক্ষ থেকে P(x,y) বিন্দুর দূরত্ব =| X | একক এবং অক্ষ থেকে P(x,y) বিন্দুর দূরত্ব = | Y |

·         মূলবিন্দুর স্থানাক (0,0)

·         X অক্ষের উপর প্রতিটি বিন্দুর কোটি শুন্য এবং এর উপর যে কোন বিন্দুর স্থানাক (x,0) ধরা হয়

·         Y অক্ষের উপর প্রতিটি বিন্দুর ভুজ শুন্য এবং এর উপর যে কোন বিন্দুর স্থানাক (0,Y) ধরা হয়

·         (x₁,y₁) ও (x₂,y₂)  বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব      

নিজেকে যাচাই কর :

1.        (4,-3) ও (2,5) মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর ।

2.        কোন বিন্দুর কোটি 3 এবং বিন্দুটির দূরত্ব (8, -6) বিন্দু হতে 15 একক হলে এর ভুজ কত ।

3.        একটি বিন্দুর ভুজ এর কোটির তিনগুন । (5,10) বিন্দু হতে এর দূরত্ব √65 একক হলে বিন্দুটি নির্ণয় কর (সমাধানের নিয়ম  যার সাথে এর তাকে ধরে নিব )

4.        Y অক্ষ ও (7,2) হতে (a,5) এর দূরত্ব সমান হলে a এর ম্যান নির্ণয় কর ।

5.        কোন দুটি  বিন্দু X ও Y অক্ষদ্বয় হতে যথাক্রমে 2 ও 3 একক দূরে অবস্থিত হলে বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর ।

সৃজনশীল :

*** লুৎফর সাহেব X  অক্ষের উপর m পরিমান হেঁটে থেমে গেলেন । তিনি দেখলেন পার্কের ভিতর (-5,8) বিন্দুতে   মিসেস রেহেনা বসে আছেন ।

                ক)  লুৎফর সাহেব যেখানে থেমে গেছেন সেই বিন্দুর স্থানাক নির্ণয় কর ।

                খ) লুৎফর সাহেব হতে মিসেস রেহেনার দূরত্ব সমান হলে m এর মান নির্ণয় কর ।

                গ) লুৎফর সাহেব ও মিসেস রেহেনার মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর ।

ত্রিভুজ নিয়ে গাল গল্প

সমতলীয় জ্যামিতির ভাষায় তিন বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজ বলা হয় । এটি একটি বহুভুজ, যার তিনটি ছেদচিহ্ন ও তিনটি প্রান্ত থাকে।

বাহুর দৈর্ঘ্যের ভিত্তিতে :

সমবাহু ত্রিভুজ - যার তিনটি বাহুরই দৈর্ঘ্য সমান। সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রতিটি কোণের মান ৬০° হয়। এ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান । সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো যোগ করলে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ হয় এবং ইহার ক্ষেত্রফল মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের এক চতুর্থাংশ হবে।সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ কোণ ও বাহুর উভয়ের সমদ্বিখন্ডক।

·         (x₁,y₁) ও (x₂,y₂)  মধ্যবিন্দুর স্থানক  

·         (x₁,y₁) , (x₂,y₂)  ও (x₃,y₃) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ বিন্দু হলে ভরকেন্দ্রের স্থানাক 
  

·         সমকোণী ত্রিভুজের শর্ত যেকোনো দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর সমান ।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ - যার যে-কোন দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণ ৯০° হলে অপর সমান দুইটি বিপরীত কোণ ৪৫° করে হবে। সমান সমান বাহুর বিপরীত কোনগুলো পরস্পর সমান। মধ্যমা দুটি পরস্পর সমান।

বিষমবাহু ত্রিভুজ - যার তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য তিন রকম। বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণ-ই পরস্পরের সঙ্গে অসমান হয়। যেকোন ২টি বাহুর সমষ্টি ৩য়য় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

নিজেকে যাচাই কর :

1.     দেখাও যে, (a,a) , (-a,-a) এবং (-a√3,a√3) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।

2.     একটি সমবাহু ত্রিভুজের দুটি শীর্ষ বিন্দুর স্থানক (2,4) এবং (4,2) হলে তৃতীয় শীর্ষ বিন্দুর স্থানক নির্ণয় কর ।

3.     একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ বিন্দু A(4,5) B(2,-2√5) এবং  C(4, 2√5) । A বিন্দু হতে  BC এর উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের ছেদ বিন্দুর স্থানাক নির্ণয় কর ।

4.     একটি ত্রিভুজের দুটি শীর্ষ বিন্দু যথাক্রমে (2,7) , (6,1) এবং এর ভরকেন্দ্র (6,4) হলে তৃতীয় শীর্ষ বিন্দুর স্থানক নির্ণয় কর

5.     একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় (0,0) (0,8) এবং  (4,0) হলে ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র ও পরিব্যাস নির্ণয় কর ।

সৃজনশীল :

A(12,8), B(2,-6) এবং C(6,0) বিন্দুত্রয় কোনো ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ বিন্দু ।

                ক ) অক্ষ হতে C বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর ।

খ) A হতে BC এর উপর লম্বের দৈর্ঘ নির্ণয় কর ।

গ) প্রমান কর যে ত্রিভুজ ABC সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ ।

চতুর্ভুজ নিয়ে গাল গল্প

চতুর্ভুজ হচ্ছে একটি সমতলে চারটি বাহু বিশিষ্ট ক্ষেত্র। সমতল জ্যামিতিতে বেশ কয়েক ধরণের চতুর্ভুজ বিদ্যমান।

আয়ত: যে চতুর্ভূজের বিপরীত বাহু গুলো সমান ও সমান্তরাল এবং কোণ গুলো সমকোণ,তাকে আয়ত বলে। কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান । কর্ণদ্বয় মধ্য বিন্দুতে ছেদ করে।

বর্গ:যে চতুর্ভূজের ৪ টি বাহু পরস্পর সমান এবং কোণ গুলো সমকোণ, তাকে বর্গ বলে। বর্গ একটি আয়ত। কর্ণ দুটি বর্গ কে সমান ৪ টি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

সামান্তরিক:যে চতুর্ভূজের বিপরীত বাহু গুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোনো কোণ-ই সমকোন নয়,তাকে সামান্তরিক বলে।

রম্বস:যে চতুর্ভূজের চারটি বাহু পরস্পর সমান কিন্তু কোনো কোণ-ই সমকোণ নয়,তাকে রম্বস বলে।

নিজেকে যাচাই কর :

1.     কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাক (1,-2),(7,4) তৃতীয় শীর্ষের স্থানাক (-3,6) হলে চতুর্থ শীর্ষের স্থানাক নির্ণয় কর ।

2.     P বিন্দু হতে (1,-1) (9,7) এবং (1,7) বিন্দু তিনটির দূরত্ব সমান হলে P বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত ।

3.     (-5,6) বিন্দু হতে অক্ষদ্বয়ের উপর যদি দুটি লম্ব টানা হয় তাহলে মূলবিন্দু সহ যে ক্ষেত্র সৃষ্টি হবে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

4.     প্রমান কর যে (3,-5), (9,10), (3,25) এবং (-3,10) বিন্দু চারটি একটি রম্বসের শীর্ষ বিন্দু ।

সৃজনশীল :

অক্ষদ্বয় হতে  4 একক দূরে দুটি লম্ব পরস্পর P(5,-6) বিন্দুতে ছেদ করে ।

                ক) বিন্দু হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর ।

খ) গঠিত ক্ষেত্রের প্রকৃতি নির্ণয় কর ।

গ) গঠিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

আরো যত গল্প থাকতে পারে

·         তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য হলে বিন্দুত্রয় সমরেখ হবে ।

·         দুটি বিন্দুর সংযোগ রেখা মূলবিন্দুগামি হবে যদি ও কেবল যদি মূলবিন্দুর সাথে বিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ এর যেকোন দুটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর সমান হয় । 

জ্যামিতি তে বৃত্তের ব্যাস হলো কেন্দ্রগামী সরলরেখা যার প্রান্তবিন্দুদ্বয় পরিধিস্থ। তবে, ঐ রেখাংশের দৈর্ঘ্যকেও ব্যাস বলা হয়। কোনো বৃত্তের সকল ব্যাস সমান এবং ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।

1. 1.     একটি বৃত্তের কেন্দ্র (5,3) এবং ব্যাসার্ধ 5 একক বৃত্তটির একটি  জ্যা (3,2) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত্ব হলে তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর  
2. 2.     একটি বৃত্তের কেন্দ্র (11,2) এবং ব্যাসার্ধ 10 ঐ বৃত্তের যে জ্যা এর মধ্যবিন্দুর (2,-1) দেখাও যে তার দীর্ঘ 2√10.
3. 3.     দেখাও যে , (15,-9) ও (-5,3) এর সংযোগ রেখা মূলবিন্দুগামী ।